Сборник ЕГЭ по математике 2027, профильный уровень с ответами

Ответом на задания № 1–13 является целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерения не пишутся.

1. Задание 1

   Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 13, угол $A$ равен $30^{\circ}$. Найдите $BC$.

2. Задание 2

   На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

   

3. Задание 3

   В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=8$, $AD=9$, $AA_1=12$. Найдите объём тетраэдра $ABDA_1$.

   

4. Задание 4

   Конкурс исполнителей проводится четыре дня. Заявлено 60 выступлений — по одному от каждой страны, в том числе от Казахстана. В первый день 24 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что исполнитель из Казахстана выступит в третий день.

5. Задание 5

   В коробке 4 синих, 6 красных и 6 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что оба выбранных фломастера окажутся одного цвета.

6. Задание 6

   Случайная величина $X$ принимает только значения 2 и 8. Её математическое ожидание равно 5. Найдите вероятность события $X=2$.

7. Задание 7

   Найдите корень уравнения $3^{2x-1}=81$.

8. Задание 8

   Найдите значение выражения $5\cos 2\alpha$, если $\sin\alpha=0{,}4$.

9. Задание 9

   На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1,x_2,\ldots,x_8$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

   

10. Задание 10

    Для получения на экране изображения лампочки используют собирающую линзу с фокусным расстоянием $f=30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки можно менять от 40 до 60 см, расстояние $d_2$ от линзы до экрана — от 50 до 75 см. Изображение чёткое, если $\dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}=\dfrac{1}{f}$. На каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы изображение было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

11. Задание 11

    Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 240 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

12. Задание 12

    На рисунке изображён график функции вида $f(x)=a\sqrt{x}$. Найдите значение $f(16)$.

    

13. Задание 13

    В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат составит 648 000 рублей?

Запишите полное обоснованное решение и ответ для каждого задания.

14. Задание 142 балла

    а) Решите уравнение $\sin x+\sin 3x=\cos x+\cos 3x$.

    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi;2\pi]$.

15. Задание 153 балла

    В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=6$, $AD=8$, $AA_1=12$. Точки $M$, $N$ и $P$ — середины рёбер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно.

    а) Докажите, что плоскости $MNP$ и $BDA_1$ параллельны.

    б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $MNP$.

16. Задание 162 балла

    Решите неравенство $\log_3(3^x-1)\cdot\log_{\frac13}(3^{x+2}-9)\geq-8$.

17. Задание 172 балла

    Ящик массой 40 кг равномерно перемещают по горизонтальному полу, прикладывая к нему силу $F$ (в ньютонах), направленную под углом $\alpha$ к горизонту, $0\leq\alpha<\frac{\pi}{2}$. Сила давления ящика на пол равна $N=mg-F\sin\alpha$, сила трения скольжения $F_{\text{тр}}=\mu N$, а условие равномерного движения $F\cos\alpha=F_{\text{тр}}$. Здесь $\mu=0{,}75$ — коэффициент трения, $g=10$ м/с². Найдите наименьшую силу $F$, при которой ящик можно перемещать равномерно. Ответ дайте в ньютонах.

18. Задание 183 балла

    Окружность, построенная на стороне $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно.

    а) Докажите, что треугольник $CDE$ подобен треугольнику $CBA$.

    б) Найдите $DE$, если $AB=5$, $AC=5$, $BC=6$.

19. Задание 194 балла

    Найдите все значения $p$, при каждом из которых уравнение $\dfrac{x^2-2px+p+2}{\sqrt{x-1}}=0$ имеет ровно один действительный корень.

20. Задание 204 балла

    Трёхзначное число записано тремя ненулевыми цифрами. Сумма этого числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равна 1050.

    а) Может ли исходное число оканчиваться цифрой 8?

    б) Может ли исходное число делиться на 11?

    в) Найдите наибольшую возможную разность исходного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке.