Показательные уравнения: три метода и задания по уровням

Ученик уверенно решает показательные уравнения: приводит к одному основанию, делает замену, находит корни. Даю неравенство того же вида — и он встаёт. Не ошибается — именно встаёт: не знает, с чего начать.

Я долго считала это особенностью конкретного ученика. Потом посмотрела статистику ФИПИ и поняла, что это норма по стране.

Дальше — три метода по нарастанию сложности, цифры ФИПИ о том, где ученики теряют баллы на самом деле, и задания к каждому из методов. Задания можно открыть и посмотреть без регистрации: показательная функция — первая глава алгебры 11 класса, а первая глава каждого класса у нас бесплатна.

Где в этой теме настоящая трудность

Коротко: уравнения умеют решать почти все, неравенства — каждый пятый.

По таблицам методических рекомендаций ФИПИ, показательные и логарифмические уравнения — это задание 6 профильного ЕГЭ, и в 2025 году его выполнили 95 % участников. Показательные и логарифмические неравенства — задание 15, 19 %. Годом раньше было 97 % и 27 %.

Сравнение при этом не вполне прямое, и это честнее сказать сразу: задание 6 — первая часть и базовый уровень сложности, задание 15 — вторая часть, повышенный уровень и развёрнутое решение. Но форма ответа объясняет не всё. В той же второй части иррациональные уравнения дают 83 %, целые и дробно-рациональные — 74 %, тригонометрические — 43 %. И только неравенства — 19 %.

В выдаче при этом по уравнениям тренажёры, подборки и разборы, а по неравенствам почти пусто. Получается, что сильнее всего накачана та часть темы, которая и так даётся.

Оговорка, без которой цифры врут: ФИПИ считает показательные вместе с логарифмическими, одним элементом кодификатора, а в 2024-м в то же задание 6 входили ещё и иррациональные уравнения. Отдельного процента по показательным не существует, и если где-то он вам встретился — его придумали.

В каком классе тема — зависит от уровня

Коротко: на профиле уравнения и неравенства разведены по разным годам, на базе идут одним блоком. Значит и лист для них нужен разный.

По федеральной рабочей программе углублённого уровня показательные уравнения стоят в 10 классе: вместе с самой функцией это блок на 10 часов. Неравенства уезжают в 11 класс — в блок «Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства» на 24 часа. На базовом уровне и то и другое проходят в 11 классе, одним блоком в 12 часов.

Отсюда практическое следствие. Профильному десятому классу нужен лист без неравенств вовсе. Базовому одиннадцатому — лист, где уравнения и неравенства идут вперемешку, потому что именно так они встретятся на экзамене.

И про номера: в ЕГЭ-2026 это задание 6 профиля и задание 17 базы. Нумерация менялась: в 2023-м то же задание шло под номером 5 — «Задание 5 проверяет умение решать показательные уравнения, приводящиеся к линейным». Страницы со старыми номерами висят в выдаче без пометки о годе, и по такой странице легко назвать ученику номер, которого уже нет.

Метод 1: привести к одному основанию

Коротко: самый частый тип школьного показательного уравнения решается одним действием — записать обе части как степени одного числа и приравнять показатели. Сам метод простой. Спотыкаются на арифметике степеней.

Что сюда входит по нарастанию:

1. Простейшие: $3^x = 81$, $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8$.
2. Корень в правой части: $5^x = \sqrt{5}$, ответ дробный.
3. Разные основания, сводимые к одному: $4^x = 8$, $16^{x-1} = 8$, $9^{2x+1} = 3$.
4. Линейный показатель: $3^{2x-1} = 81$, $5^{2x+1} = \frac{1}{25}$.
5. Квадратный показатель, и спрашивают сумму корней: $3^{x^2-x} = 9$.
6. Свойства степеней внутри: $2 \cdot 4^x = 8$, $2^{x-0{,}5} \cdot 2^{x+3} = 1$.

Пункты 3 и 6 — те, на которых ученик спотыкается чаще всего, и оба они про степени, а не про показательную функцию. Если $16$ не опознаётся как $2^4$ мгновенно, дальше рушится всё.

В главе это первый уровень тем «Показательные уравнения» и «Показательные неравенства» — по 30 заданий в каждой.

Метод 2: вынести общий множитель или заменить переменную

Коротко: когда в уравнении несколько слагаемых с одной переменной в показателе, работают два приёма — вынести за скобку младшую степень либо ввести $t = a^x$ и получить квадратное уравнение.

Вынесение выглядит так: в $5^{2x+1} + 5^{2x} = 150$ выносим $5^{2x}$, остаётся $5^{2x}(5 + 1) = 150$. Дальше — метод 1. Того же вида $2^{x+2} + 2^{x+1} + 2^x = 56$ и $3^{x+1} - 3^x + 3^{x-1} = 21$.

Замена нужна там, где одно основание — степень другого: $9^x - 12 \cdot 3^x + 27 = 0$ превращается в $t^2 - 12t + 27 = 0$ при $t = 3^x$. Так же решаются $4^x - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$ и $36^x - 6^x - 30 = 0$.

Главное место, где теряют корни, — обратный переход. Ученик находит $t = 3$ и $t = 9$, записывает их в ответ и на этом заканчивает, хотя искали $x$. Второе по частоте — принятый отрицательный корень $t$: показательная функция отрицательной не бывает, условие $t > 0$ отсекает его сразу, и проговаривать это надо каждый раз, пока не станет рефлексом.

Второй уровень — 54 задания на уравнения и 48 на неравенства: вынесение множителя и замена идут вперемешку, как и встретятся на экзамене.

Метод 3: приравнять показатели — и проверить ОДЗ

Коротко: если слева и справа одно основание, показатели равны — этот переход равносилен всегда. Посторонние корни появляются на следующем шаге: когда в показателе стоит корень и уравнение возводят в квадрат.

Простой случай: $7^{x^2-2x} = 7^{3x-6}$ сводится к квадратному уравнению относительно показателей. Никаких ловушек.

А вот $2^{\sqrt{x+2}} = 2^x$ уже требует осторожности. Приравняв показатели, получаем $\sqrt{x+2} = x$; возводя в квадрат, добавляем корни, которых в исходном уравнении нет. Проверка обязательна, и она не формальность: отрицательный $x$ не подходит просто потому, что корень неотрицателен.

Того же рода $7^{\sqrt{5x+6}} = 7^x$, $2^{x+\sqrt{x}} = 4$ и связка замены с корнем — $9^{\sqrt{x}} - 28 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 27 = 0$, где сначала $t = 3^{\sqrt{x}}$, а потом ещё и проверка области определения.

Это единственный из трёх методов, где ученик может сделать всё правильно и всё равно получить неверный ответ. Поэтому задания такого вида имеет смысл давать отдельным блоком, а не подмешивать к простым. В главе они и лежат отдельно — третий уровень тем «Показательные уравнения» и «Показательные неравенства», 66 заданий на уравнения и 54 на неравенства.

Ломается не показательная функция

Коротко: по данным ФИПИ, ошибки в этом задании связаны не с показательной функцией, а с тем, что было изучено раньше, — со степенями и с преобразованием обычного линейного уравнения.

Методические рекомендации ФИПИ по итогам ЕГЭ-2025 говорят про задание 17 базового уровня прямо: «В решении показательного уравнения ошибки связаны с отрицательным показателем степени, а в полученном линейном уравнении ошибки связаны с неравносильными преобразованиями».

То есть ученик верно опознал показательное уравнение, верно свёл к одному основанию, приравнял показатели — и упал на линейном уравнении, которое умеет решать с седьмого класса. В рекомендациях 2023 года о том же сказано короче: избегать устного выполнения действий, особенно с отрицательными числами.

Практический вывод для листа: если в работе нет ни одного уравнения с отрицательным показателем и дробным основанием вроде $\left(\frac{1}{4}\right)^{2-x}$, самая частая ошибка темы останется непроверенной.

Почему неравенства проваливаются

Коротко: ФИПИ называет причиной подмену метода готовыми схемами и решение чужих вариантов вместо систематического курса — сложность самой темы там не упоминается вовсе. Технически же всё упирается в один шаг: направление знака.

Цитата из рекомендаций по итогам ЕГЭ-2025:

Снижение уровня выполнения данного задания связано с ростом практики «прорешивания» заданий прошлых лет и заданий, предлагаемых в Интернете, вместо систематического изучения и повторения курса алгебры.

И там же про приёмы:

Кроме того, увлечённость на завершающем этапе подготовки к экзамену различными «упрощающими приёмами и схемами» преобразования неравенств приводит к рассеиванию внимания и утере навыка применения ранее освоенных методов.

Про технику стоит сказать отдельно, потому что из цифр она не видна. Методы у неравенств те же три: приведение к одному основанию, вынесение с заменой, равенство показателей с проверкой области определения — всё работает слово в слово. Добавляется ровно один шаг: посмотреть на основание. Больше единицы — знак сохраняется, между нулём и единицей — переворачивается. В уравнении основание на ответ не влияет, и потому этот шаг не отрабатывается: там, где в уравнении писать нечего, в неравенстве решается всё.

Здесь стоит остановиться, потому что это камень и в наш огород тоже. Любой банк заданий — включая наш — легко превратить в то самое «прорешивание»: выдать двадцать однотипных номеров и получить ученика, который узнаёт задачу по внешнему виду и не понимает, что делает.

Разница между тренировкой и натаскиванием проходит по одному признаку: меняется ли что-то, кроме чисел. Если в работе есть задания, где вид привычный, а смысл сдвинут, — ученик вынужден думать. Если все двадцать номеров отличаются только значениями — он учится узнавать картинку.

Ключа ответов мало, и это говорит ФИПИ

Коротко: проверка по ответу показывает, совпало ли число, и молчит о том, как ученик его получил. ФИПИ считает это отдельной причиной низких результатов по неравенствам.

Цитата оттуда же, за 2025 год:

Проверка решений только по ответам может дать ученику ложную уверенность в том, что он решает неравенства верно.

За 2024-й — жёстче:

При проверке решений школьников на уроке учителю следует проверять именно математическую корректность и обоснованность решения, а не только совпадение ответа или, напротив, совпадение решения с тем или иным «эталоном».

Для темы показательных уравнений это особенно заметно на методе 3: ученик, который не проверил ОДЗ, но случайно получил верное число, по ключу выглядит решившим.

Поэтому часть заданий у нас — открытые: ученик пишет решение целиком, а проверяет его учитель, а не машина. В показательных уравнениях таких 18, в неравенствах 12, и все они на третьем уровне — там, где ошибка чаще всего прячется не в ответе, а в рассуждении. Всё остальное проверяется автоматически, и это экономит вечер, но последний блок работы имеет смысл оставлять себе.

Как собрать лист на урок

Коротко: в главе «Показательная функция» 552 задания, размеченных по темам и уровням, — лист по любому из трёх методов собирается выбором нужного уровня.

Раскладка по теме такая: показательные уравнения — 174 задания, неравенства — 144, показательная функция и её график — 234. Внутри каждой темы задания разложены по уровням, и уровень здесь означает метод, а не просто «посложнее»: первый — приведение к основанию, второй — вынесение и замена, третий — равенство показателей и ОДЗ.

У заданий есть аналоги — те же по смыслу, другие по числам. Это нужно, когда двое учеников сидят за одной партой: материал проверяете один и тот же, а сверять друг у друга нечего.

Первая глава алгебры в каждом классе бесплатна, а показательная функция — как раз первая глава одиннадцатого. Открыть её и посмотреть все 552 задания можно без регистрации: Показательная функция, 11 класс. Чтобы собрать из них лист, распечатать или отправить ученикам, нужна учётная запись — бесплатная, платить за эту главу не придётся.

Что есть в одиннадцатом классе помимо неё — список глав. Наполнены пока две главы: показательная функция и логарифмы с логарифмической функцией, вместе 1 092 задания. Остальные подписаны «Скоро» — это видно на самой странице, сюрприза не будет.

Как потом отправить собранную работу ученикам, чтобы не собирать фотографии по мессенджерам, — разобрано отдельно.

Совет напоследок: начните не с листа на двадцать номеров, а с пяти — по два из первого и второго уровня и одного из третьего. По тому, где ученик встанет, сразу видно, чего ему не хватает: арифметики степеней, обратного перехода или привычки смотреть на область определения.

Источники

• Методические рекомендации ФИПИ по итогам ЕГЭ-2025 по математике — doc.fipi.ru
• Методические рекомендации по итогам ЕГЭ-2024 — doc.fipi.ru
• Методические рекомендации по итогам ЕГЭ-2023 — doc.fipi.ru
• Кодификатор, спецификации и демоверсии ЕГЭ-2026 по математике — fipi.ru
• Федеральная рабочая программа СОО по математике, 10–11 классы, углублённый уровень — edsoo.ru
• Федеральная рабочая программа СОО по математике, 10–11 классы, базовый уровень — edsoo.ru